"Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati

28 maggio 2014

Somme Infinite

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Si potrebbe pensare che, sommando infiniti termini, si ottenga un numero sempre più grande. Non sempre è così: talvolta si ottiene un valore finito.
Ovviamente è impossibile sommare infiniti termini, ma, in questi casi, si vede che, più addendi si sommano, più ci si avvicina ad un certo valore definito. Esistono poi metodi analitici per ottenere questo valore con estrema precisione.
Quando una somma infinita di termini da un valore finito, si dice che è “convergente”.
Nel 1674 il grande filosofo e matematico tedesco Gottfried Wilhelm von Leibniz scoprì e dimostrò questa bella ed elegante relazione:

(1 / 1) – (1 / 3) + (1 /5 ) – (1 / 7) + (1 / 9) – (1 / 11) + (1 / 13) – ( 1 / 15) + ……. = (π / 4)

Cioè: la somma infinita a segni alterni dei reciproci dei numeri dispari, partendo da 1, è uguale ad un quarto di pi greco.
Questa somma converge molto “lentamente” come ci mostra questa tabellina:
Sommando 1.000 termini, otteniamo  3,14259165433954 (2 decimali esatti)
Sommando 10.000 termini, otteniamo 3,14169264359053 (3 decimali esatti)
Sommando 100.000 termini, otteniamo 3,14160265348972 (3 decimali esatti)
Sommando 1.000.000 termini, otteniamo 3,14159365358878 (5 decimali esatti)
Sommando 10.000.000 termini, otteniamo 3,14159275358984 (6 decimali esatti)
Ovviamente i valori di pi greco sono stati ottenuti moltiplicando per 4 il risultato.
Un’altra somma infinita veramente notevole fu scoperta nel 1743 dal matematico Eulero:

(1 / 1²) + (1 / 2²) + (1 / 3²) + (1 / 4²) + (1 / 5²) + (1 / 6²) + (1 / 7²) + …. = (π² / 6)

Questa somma converge meno lentamente della precedente.
Una elegante somma infinita che non coinvolge pi greco è la seguente:

[1 / (2^1)] + [1 / (2^2)] + [1 / (2^3)] + [1 /( 2^4)] + [1 /( 2^5)] + [1 /( 2^6)] + ….. = 1

Cioè:

(1 / 2) + (1 / 4) + (1 / 8) + (1 / 16) + (1 / 32) + (1 / 64) + ….. = 1

Anche la famosa somma infinita di Mengoli converge ad 1:

[1 / (1×2)] + [1 / (2×3)] + [1 / (3×4)] + [1 / (4×5)] + [1 / (5×6)] + ….. = 1

Il numero e (2,718281828459…..), base dei logaritmi naturali introdotti da Nepero nel 1614, è il risultato di una somma infinita.
Prima di scrivere questa somma, ricordiamo che col simbolo  N!  (n fattoriale) si indica il prodotto dei primi N numeri naturali:
N! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x…..x N
e che 0! = 1.
Questa è la somma:

(1 / 0!) + (1 / 1!) + (1 / 2!) + (1 / 3!) + (1 / 4!) + (1 / 5!) + ….. = e = 2,718281828459…..

Cioè:

(1 / 1) + (1 / 1) + (1 / 2) + (1 / 6) + (1 / 24) + (1 / 120) + ….. = e = 2,718281828459…..

Anche il logaritmo naturale di 2 è il risultato di una somma infinita:

(1 / 1) – (1 / 2) + (1 / 3) – (1 / 4) + (1 / 5) – (1 / 6) + (1 / 7) – …. = ln(2) = 0,69314718 ….

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