"Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati

3 aprile 2014

Matematica in pillole: I numeri triangolari

Filed under: Articoli,Curiosità,Didattica,L'Angolo della Matematica — matematicandoinsieme @ 14:48
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Un numero triangolare è un numero che è la somma dei primi N numeri naturali. Ad esempi 28 è un numero triangolare perchè:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7  =  28

Il nome “triangolare” deriva dal fatto che, fin dall’antichità, si notò che tali numeri potevano essere rappresentati da triangoli costituiti da punti, ciascuno dei quali è una unità. Ad esempio, nel nostro caso il numero 28:

*
**
***
****
*****
******
*******

Esiste una semplice formula per calcolare l’n-esimo numero triangolare, cioè la somma dei primi n numeri naturali:

T(n) = n*(n+1)/2

Per esempio, per n = 7, otteniamo:

T(7)  =  7*(7+1)/2  = 7*8/2  =  56/2  = 28

I primi numeri triangolari sono:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990….

E’ interessante notare che la somma di due numeri triangolari consecutivi è sempre un quadrato esatto, per esempio:

T(5) + T(6)  =  15 + 21  =  36  =  6^2
T(6) + T(7)  =  21 + 28  =  49  =  7^2
T(7) + T(8)  =  28 + 36  =  64  =  8^2

Da notare anche che tutti i numeri perfetti (numeri uguali alla somma dei loro divisori propri) sono numeri triangolari.

Un’altra interessante proprietà è che il quadrato di un qualsiasi numero triangolare T(n) è uguale alla somma dei primi n numeri naturali al cubo:

[T(n)]^2  =  1^3 + 2^3 + 3^3 + ….. + (n-1)^3 + n^3

Per esempio:

[T(4)]^2  =  10^2  =  100
[T(4)]^2  =  1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3  =  1 + 8 + 27 + 64  =  100

C’è ancora da osservare che tutti i quadrati esatti dispari sono della forma 8*T(n) + 1.
Per esempio:

11^2  =  121  =  8*15 + 1  =  8*T(5) + 1
13^2  =  169  =  8*21 + 1  =  8*T(6) + 1

C’è infine da notare che ci sono infiniti numeri triangolari che sono anche quadrati esatti. I primi di essi sono:

T(1)         =  1                     =  1^2
T(8)         =  36                  =  6^2
T(49)       =  1225              =  35^2
T(288)     =  41.616           =  204^2
T(1681)   =  1.413.721      =  1189^2
T(9800)  =  48.024.900  =  6930^2

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1 commento »

  1. Sui numeri triangolari T posso dire che la formula 2T +1 è equivalente alla formula L(n) = n^2 + n 1 , da i numeri di Lie, importanti nelle simmetrie del Modello Standard . Per maggiori dettagli, consiglio di cercare con Google ” L’equazione preferita dalla Natura” apprezzata dai visitatori. Tali numeri sono sempre a metà intervallo tra un quadrato e l’altro, e vicini ai numeri di Fibonacci all partizioni di numeri, che c’è noto spuntano sempre in molti fenomeni naturali, Ma non abbiamo ancora capito bene perchè la Natura sembra evitare accuratamente i quadrati perfetti per regolare molti dei suoi fenomeni, da quelli quantistici (per es.orbitali elettronici)a quelli astronomici , per esempio la legge astronomica di Bode sulle distanze dei pianeti dal Sole. Qualcuno saprebbe spiegare questo fenomeno matematico-naturale? Forse, secondo noi, per risparmio di energia, o qualcosa del genere.
    Buona lettura, Francesco
    .

    Commento di Francesco — 3 aprile 2014 @ 20:19 | Rispondi


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