"Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati

3 marzo 2014

Pillole di calcolo combinatorio 2: Combinazioni semplici

Consideriamo un insieme di 4 elementi (a,b,c,d) e  fissiamo un numero minore o uguale a 4, per esempio 2. Osserviamo che esistono 6 gruppi diversi di questi elementi presi 2 a 2:

ab  ac ad  bc  bd  cd

Se invece come numero fissiamo 3, otteniamo 4 gruppi diversi:

abc  abd  acd  bcd

Questi gruppi vengono chiamati “combinazioni semplici”. In generale, dato un insieme di n elementi e, fissato un numero k minore o uguale ad n, si definiscono combinazioni semplici di questi n elementi, presi k a k, C(n,k), tutti i gruppi che possiamo formare con questi n elementi in modo che ciascun gruppo sia formato da k elementi e ogni gruppo differisca dall’altro almeno per un elemento. Il numero delle combinazioni semplici di n elementi, presi k a k, è dato da:

C(n,k)  =  n! / [k! (n-k)!]

Nei nostri 2 esempi:

C(4,2)  =  4! / [2! (4-2)!]  =  24 / 4  =  6 C(4,3)  =  4! / [3! (4-3)!]  =  24 / 6  =  4

Applichiamo queste formule ad un esempio reale: Se gioco 5 numeri al Lotto, quanti ambi, terni e quaterne si formano?

Ambi: C(5,2)  =  5! / [2! (5-2)!]  =  120 / 12  =  10

Terni: C(5,3)  =  5! / [3! (5-3)!]  =  120 / 12  =  10

Quaterne: C(5,4)  =  5! / [4! (5-4)!]  =  120 / 24  =  5

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