"Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati

24 febbraio 2014

I numeri perfetti: il più antico problema ancora aperto della matematica elementare.

I numeri perfetti furono inizialmente studiati dai pitagorici. Un teorema enunciato da Pitagora e dimostrato da Euclide rivelò che se  2n+1 – 1  è un numero primo, allora  2n · (2n+1 – 1)  è perfetto. Successivamente Eulero dimostrò che tutti i numeri perfetti pari devono essere di tale forma. I numeri nella forma  2n+1 – 1  che sono primi sono detti primi di Mersenne. Si dimostra facilmente che se n+1 non è primo allora non lo è neanche  2n+1 – 1 . I numeri perfetti godevano di una particolare importanza nella cultura ebraica come dimostra il fatto che, secondo l’ebraismo, il Mondo era stato creato in 6 giorni e il calendario ebraico si basava sul mese lunare, di 28 giorni. Le proprietà matematiche e religiose di questi numeri perfetti vennero sottolineate in seguito anche da alcuni commentatori cristiani. Nel suo trattato La Genesi alla lettera, libro IV, par.7,14, Sant’Agostino scrisse: “Sei è un numero perfetto in sé stesso, e non perché Dio ha creato tutte le cose in sei giorni. Anzi è vero l’opposto: Dio ha creato tutte le cose in sei giorni proprio perché questo è un numero perfetto”.( fonte Wikipedia)

Un numero si dice perfetto se è la somma dei suoi divisori, escluso il numero stesso e incluso l’unità.  Ad esempio, il numero 6 è perfetto poichè la somma dei suoi divisori 1, 2, 3 dà 6:

1+ 2 + 3 = 6.

I Greci conoscevano soltanto i seguenti 4 numeri perfetti: 6, 28, 496, 8128.Il quinto numero perfetto è 33550336 e fu trovato all’incirca nel XV secolo. Quello che a tutt’oggi ancora non si sa è se i numeri perfetti sono tutti pari o no. Fino ad oggi non è stato trovato alcun numero perfetto dispari ma non esiste un teorema che lo provi inequivocabilmente. Euclide nel 300 a. C. riuscì a dimostrare il seguente teorema:

1)                              2^(n-1) [2^(n) -1] è  un numero perfetto 

se 2^(n) – 1 è un numero primo.                          

La difficoltà sta nel capire se il numero 2^(n +1) – 1 è primo o no per un certo valore di n.                                                 

Riporto qui di seguito l’elenco di alcuni  numeri perfetti oggi conosciuti:

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056,123438691328,  2305843008139952128                           

 ottenuti dalla formula (1), rispettivamente per n = 1, n = 2, n = 4, n = 6, n = 12, n =16, n = 18, n = 30.                          

Tutti gli altri si ottengono dalla formula (1) per:

 n = 60, n = 88, n = 106, n = 126, n = 520, n = 606, n = 1278,                         

n = 2202,   n = 2280,  n = 3216,  n = 4252, n = 4422, n = 9688,   n = 9940,  n = 11212,  n = 19936,   n = 23208,  n = 44496,

n = 86242, n = 132048,n = 216090. 

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1 commento »

  1. I numeri perfetti, sebbene rarissimi, potrebbero essere infiniti . I numeri perfetti dispari, invece non esistono, come abbiamo mostrato nell’omonimo lavoro, che potete vedere con Google, link : nardelli.xoom.it/…/I%20NUMERI%20PERFETTI%20DISPARI_0.pdf‎. Oppure sul nostro sito http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
    Grazie per l’attenzione, Francesco

    Commento di Francesco — 24 febbraio 2014 @ 19:56 | Rispondi


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