"Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati

25 luglio 2013

Gödel, l’eccentrica vita di un genio

«Classi e concetti, si possono anche concepire come oggetti reali, e precisamente le classi come pluralità di cose o come strutture che consistono di una pluralità di cose, e i concetti come le proprietà e le relazioni fra le cose, che esistono indipendentemente dalle nostre definizioni e costruzioni. Sembra a me che l’assunzione di tali oggetti sia altrettanto legittima dei corpi fisici e che ci sia altrettanta ragione di credere nella loro esistenza. Essi sono necessari per ottenere un soddisfacente sistema di matematica nello stesso senso che i corpi fisici lo sono per una teoria soddisfacente delle nostre percezioni sensoriali e in entrambi i casi è impossibile interpretare le proposizioni che si vogliono asserire su queste entità come proposizioni sui dati, cioè nel secondo caso sulle effettive percezioni sensoriali.» (Aforismi di Kurt Godel)

Kurt Gödel

Molti matematici considerano Kurt Gödel il più grande logico della storia, dopo Aristotele, e la rivista Time, in un’indagine sui venti personaggi che hanno maggiormente influenzato il pensiero del ventesimo secolo, colloca Gödel al nono posto, prima di personaggi famosi quali Enrico Fermi o Sigmund Freud. Eppure il nome di Gödel non è molto noto al di fuori dell’ambiente scientifico, decisamente molto meno di quello di Albert Einstein (al primo posto naturalmente nell’elenco del Time), che è popolare quanto Pitagora o Archimede. Sicuramente la matematica non è apprezzata quanto la fisica e Gödel era un personaggio schivo e appartato che non ispirava molta simpatia. Quando si trasferì negli Stati Uniti, nel 1940, all’Institute for Advanced Study di Princeton, ormai famoso in tutto il mondo per i suoi lavori, Gödel non riuscì a farsi molti amici. L’unico con cui facesse lunghe camminate e accese discussioni era Einstein. “Li vedevo conversare mentre si recavano assieme al lavoro – ricorda il premio Nobel Murray Gell-Mann, il celebre scienziato – esploratore – formavano una strana coppia, come i due personaggi dei fumetti Mutt e Jeff, uno lungo e allampanato e l’altro piccoletto: Gödel era così basso che Einstein al confronto sembrava un gigante”. Discutevano ovviamente di logica poiché Einstein era rimasto profondamente impressionato dai risultati di Gödel. E discutevano di relatività, che Gödel aveva studiato a fondo, elaborando anche un suo curioso, ma poco credibile, modello di Universo, soggetto a rotazioni tali da creare anelli temporali che si chiuderebbero su se stessi, consentendo a un’astronave di compiere viaggi nel passato e nel futuro.

Come presentare nel modo più semplice le idee di Gödel a chi non è del mestiere? John L. Casti e Werner DePauli, nella loro nuova biografia, Gödel, l’eccentrica vita di un genio, tentano un’impresa di alta divulgazione, dedicando la loro attenzione non tanto alla vita quanto all’opera di Gödel e all’influenza che ha avuto in campi quali l’informatica, l’intelligenza artificiale, la cosmologia, oltre naturalmente alla matematica, nei successivi sviluppi, fino a quelli più attuali. Un libro che Martin Gardner definisce “uno splendido resoconto, non tecnico sulla rivoluzione gödeliana e allo stesso tempo un disegno della vita eccentrica di Gödel e della sua tragica fine”.

Gödel era nato a Brno, in Moravia, nel 1906, e come racconta il fratello Rudolf, “era un bambino felice ma timido, molto sensibile, soprannominato “Herr Warum” (il signor Perché) a causa della sua enorme curiosità”. A otto anni una febbre reumatica lo portò a studiare la malattia e a convincersi, nonostante le rassicurazioni del medico, che il suo cuore ne fosse stato danneggiato. Questo, secondo il fratello, fu l’origine dell’ipocondria che accompagnò per tutta la vita Gödel, insieme ad altre manie che aggravandosi si sarebbero trasformate gradualmente in paranoia. Nel 1924 si trasferì a Vienna dove i suoi interessi filosofici lo portarono a frequentare il famoso Circolo di Vienna, il celebre gruppo di filosofi e scienziati che si trovavano ogni giovedì sera per dibattere sulle diverse teorie della “verità” scientifica, un’esperienza ricca e stimolante che ebbe per Gödel una profonda influenza sui suoi studi.

Un aneddoto riportato da Casti e DePauli riflette bene il carattere puntiglioso, pronto a portare il ragionamento logico alle estreme conseguenze di Gödel. Quando decise, nel 1948 di chiedere la cittadinanza USA iniziò un’analisi minuziosa della costituzione americana per prepararsi all’esame richiesto. Il giorno prima dell’esame telefonò eccitatissimo ai suoi amici, Morgenstern e Einstein annunciando di aver scoperto che c’era un errore logico nella costituzione, una scappatoia attraverso la quale gli Stati Uniti potevano trasformarsi in una dittatura. Il giorno dopo, Morgenstern e Einstein accompagnandolo alla sede degli esami fecero di tutto per distrarlo, raccomandandogli di non far parola della sua “scoperta”. Gödel riuscì a trattenersi finché il giudice che lo interrogava non accennò alla terribile dittatura che aveva lasciato in Europa e che fortunatamente non sarebbe stata possibile in America. “Al contrario – esclamò Gödel – io so che può accadere anche qui, e posso provarlo!” Ci volle tutta la pazienza di Morgenstern e Einstein e del giudice stesso per calmarlo e impedirgli di lanciarsi in una pericolosa discussione.

Casti e DePauli per spiegare il lavoro di Gödel inventano la MTC, una divertente “Macchina per le Torte di Cioccolata”. Noi infiliamo nella MTC uova, farina, latte, cioccolata e tutti gli altri ingredienti, insieme a una ricetta ed esce la torta. Ma come dev’essere questa macchina? Prima di tutto deve essere “affidabile” nel senso che, introdotti gli ingredienti e la ricetta, produca soltanto torte di cioccolata e nient’altro. Dobbiamo perciò stabilire un rigoroso criterio di riconoscimento delle torte di cioccolata, in modo che soltanto queste, secondo il linguaggio della logica, siano “vere”, mentre tutte le altre torte, ad esempio quelle alle fragole o alle nocciole, risultino “false” (Nanni Moretti sarebbe sicuramente d’accordo su questa distinzione). Ma, oltre all’affidabilità, dicono Casti e DePauli, la MTC deve avere un’altra proprietà, la “totalità”, dovrebbe cioè poter produrre tutte le possibili torte di cioccolata. Se qualcosa è una torta di cioccolata, la MTC dev’essere in grado di produrla. E arriviamo alla questione più importante: è possibile costruire una MTC? Siamo in grado di dimostrare che la torta uscita dalla macchina è “vera” torta di cioccolata, fedele ai criteri di riconoscimento stabiliti, oppure che è “falsa”? E la dimostrazione è la ricetta. Ad esempio, per dimostrare che la “Sachertorte” è una torta di cioccolata, basterà scriverne la ricetta, senza che sia necessario produrre la torta. A questo punto ci chiediamo: tutte le torte hanno una ricetta, oppure esistono torte di cioccolata per le quali non è possibile dare una ricetta?

Queste idee, all’apparenza bizzarre e lontane mille miglia da qualsiasi problema scientifico, riflettono invece uno dei problemi fondamentali della filosofia della scienza: è possibile dimostrare che ogni proposizione è vera? Fino al 1931 non soltanto tutti i pasticceri, ma anche tutti i matematici erano pronti a sostenere l’idea che ci fosse una ricetta per qualsiasi torta di cioccolata. In quell’anno, fondamentale nella storia della matematica, Gödel dimostrò invece, in modo inequivocabile, che non c’è una ricetta per ogni torta ovvero, matematicamente, che non sempre ciò che è vero (…la torta) è dimostrabile (…la ricetta).

Gödel ha buttato all’aria un modo di procedere e di ragionare che risale all’Antica Grecia e che si fonda sulla determinazione di una serie di asserzioni iniziali, gli assiomi, ritenuti così semplici e intuitivi da non suscitare dubbi sulla loro validità. Successivamente, da questi assiomi si cerca di ricavare una dimostrazione per stabilire la verità o la falsità di un’affermazione. Gödel, con il suo Teorema dell’incompletezza, ha dimostrato che non è possibile avere assiomi sufficienti per dimostrare tutto. Avremo sempre qualche problema non dimostrabile e cosa ancor più grave, non potremo neanche essere certi che nella scelta dei nostri assiomi non ci sia già qualche errore d’incompatibilità. La conclusione? Lasciamola a Bertrand Russell, al suo famoso epigramma: “La matematica pura è la disciplina in cui non sappiamo di che cosa stiamo parlando, né se quello che stiamo dicendo è vero”.

I risultati di Gödel furono un’autentica rivoluzione e provocarono grande incertezza e depressione fra i matematici. Hermann Weyl, un altro grande matematico del Novecento, disse: “Dio esiste poiché la matematica è coerente, e il diavolo esiste dato che non possiamo dimostrare la sua coerenza”. Gödel ha tolto alla matematica la sua innocenza.

Nel 1938, prima di trasferirsi definitivamente negli Stati Uniti, a Princeton, Gödel, contro la volontà della sua famiglia, aveva sposato una ballerina viennese, conosciuta in un night club, Adele Nimbursky, che aveva già un matrimonio sfortunato alle spalle. Una bella donna che considerava l’Istituto di Princeton come “una casa di riposo per anziani” e che l’economista Oskar Morgenstern definì impietosamente come “la classica lavandaia viennese, garrula, incolta ed egocentrica”. In realtà fu l’ancora di salvezza per Gödel, l’unica ad essergli vicina nei momenti in cui, sopraffatto dalle manie, temeva che il frigorifero sprigionasse gas velenosi o che il suo cibo fosse stato avvelenato da qualcuno. Purtroppo le condizioni psichiche di Gödel andarono sempre più peggiorando e Gödel, travolto dalla paranoia, arrivò a rifiutare qualsiasi cibo. Quando morì nel 1978, pesava soltanto più trentacinque chili.

Tragico destino il suo, drammatico come quello di Alan Turing, che è l’altro protagonista del libro di Casti e DePauli e che si uccise mangiando una mela avvelenata, che aveva immerso nel cianuro. I lavori di Gödel e di Turing sono strettamente intrecciati e non è possibile capire uno senza studiare anche l’altro. Turing trasportò infatti sul computer i risultati di Gödel e dimostrò, usando argomenti simili a quelli di Gödel, che è impossibile costruire un computer che possa stabilire la verità o la falsità di tutti i problemi matematici. Data una congettura non possiamo essere sicuri che esista un programma in grado di verificarla in un numero finito di passi. Non è possibile stabilire a priori se un dato programma è in grado di completare in un tempo che non sia infinito il suo compito.

Il fatto che il computer non sia in grado di risolvere un’infinità di congetture, vuol forse dire che la nostra mente è superiore al computer, poiché noi siamo in grado di costruire metasistemi, con assiomi intuitivamente corretti, che possono risolvere tali problemi? Su questo tema si scontrano scienziati come il fisico matematico Roger Penrose che difende la tesi della superiorità della mente umana, contro chi ritiene invece che sia possibile costruire un computer in grado di scoprire metasistemi identici a quelli trovati dall’uomo. La verità matematica, dice Roger Penrose, è qualcosa che va al di là del mero formalismo. Il nostro cervello non ragiona come un computer, abbiamo sempre bisogno del nostro “intuito matematico”, e non soltanto nella fase iniziale, per la costruzione di un sistema formale di riferimento (i criteri di riconoscimento delle torte di cioccolata).

Gödel però non riteneva affatto che il suo teorema escludesse uno sviluppo dell’Intelligenza Artificiale. Affermava infatti: “Resta la possibilità che esista (e possa persino essere scoperta empiricamente) una macchina dimostrativa che di fatto è equivalente all’intuizione matematica (alla mente umana), anche se non è possibile dimostrarlo, né è possibile dimostrare che essa fornisce solo teoremi corretti della teoria finitistica dei numeri”. In altre parole, secondo Gödel, se mai riusciremo a costruire un computer intelligente, non lo potremo capire. Sarebbe troppo complesso per noi.

 Federico Peiretti, LA STAMPA, 20/11/2001

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1 commento »

  1. […] “Classi e concetti, si possono anche concepire come oggetti reali, e precisamente le classi come pluralità di cose o come strutture che consistono di una pluralità di cose, e i concetti come le proprietà e le relazioni fra le cose, che esistono indipendentemente dalle nostre definizioni e costruzioni. Sembra a me che l’assunzione di tali oggetti sia altrettanto legittima dei corpi fisici e che ci sia altrettanta ragione di credere nella loro esistenza. Essi sono necessari per ottenere un soddisfacente sistema di matematica nello stesso senso che i corpi fisici lo sono per una teoria soddisfacente delle nostre percezioni sensoriali e in entrambi i casi è impossibile interpretare le proposizioni che si vogliono asserire su queste entità come proposizioni sui dati, cioè nel secondo caso sulle effettive percezioni sensoriali.”… Link articolo […]

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