"Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati

3 luglio 2013

Pillole di Matematica: Che cos’è un teorema

Un  teorema è un’ implicazione logica tra un’ipotesi e una tesi,   che può essere dimostrata utilizzando postulati o altri teoremi. In esso si distinguono:

1. l’ENUNCIATO che esprime il contenuto dell’implicazione  logica da dimostrare;

Es.: Se due angoli sono complementari dello stesso angolo allora sono congruenti.

2. l’IPOTESI: ciò che si suppone vero;

Es.: due angoli sono complementari dello stesso  angolo

3. la TESI: ciò che si deve dimostrare;

Es.: i due angoli sono congruenti.

4. la DIMOSTRAZIONE: sequenza di deduzioni, osservazioni, calcoli che, partendo dall’ipotesi, porta ad affermare la veridicità della tesi.

Formalmente si scrive: 

I => T

e si legge: “I implica T” oppure: “se I allora T”.

Alle volte i teoremi non sono enunciati sotto forma di implicazione logica, ma   usando un linguaggio meno formale.

Es.: un angolo ottuso  maggiore della metà   di un angolo retto

In questo caso sarebbe meglio enunciarli in forma di implicazione  logica:

Es.: se un angolo è ottuso, allora esso è maggiore   della metà di un angolo retto

Così si ha in modo più evidente:

ipotesi: α è un angolo ottuso

tesi: α è maggiore della metà di un angolo retto.

L’implicazione logica: I => T può anche essere espressa   usando diversi costrutti:

  1. I è condizione sufficiente per T
oppure

                   2. T è condizione necessaria per I

Parliamo ora di Teorema inverso.

Dato un teorema (Teorema Diretto):

I => T

se si scambia l’ipotesi con la tesi, si ottiene una nuova implicazione logica  che costituisce il Teorema Inverso :

T => I

Esempio

  • Teorema diretto: “se un punto appartiene all’asse di un   segmento allora è equidistante dagli estremi (del segmento)”.
  • Teorema inverso: “se un punto è equidistante dagli   estremi di un segmento allora appartiene all’asse (del segmento)”.

Quando risulta vero anche il teorema inverso, come osservato per l’esempio precedente,   si dice che il teorema è invertibile. E’ necessario precisare che non sempre   i teoremi sono invertibili.

Quando il teorema è invertibile si scrive formalmente :

I <=> T

e si legge: “Ipotesi implica Tesi e viceversa” , oppure “Ipotesi  se e solo se Tesi” , oppure : “Ipotesi è condizione necessaria  e sufficiente per tesi” .

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