"Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati

23 aprile 2013

Aria, terra, fuoco, acqua…e i poliedri regolari

“Impara dapprima le quattro radici di tutte le cose: l’aria, la terra, il fuoco e l’acqua. Questi elementi sono eterni: come potrebbero infatti morire dato che non c’è nessun luogo che ne sia privo? Sono  l’aria, la terra, il fuoco e l’acqua che, mescolati insieme, danno le forme e i colori di tutte le cose mortali.”

Così scriveva nel 400 a.C. Empedocle, uno scienziato della Grecia. passano gli anni, meno di un secolo: Platone conferma che aria, terra, fuoco e acqua sono il principio di tutte le cose. Ecco a questi associa le figure più perfette: al cubo associa la terra, al tetraedro il fuoco, all’ottaedro l’aria, all’icosaedro l’acqua . Platone, nel Timeo, disse ancora che Dio si giovò del dodecaedro regolare per decorare l’universo.

tetraedro, cubo, ottaedro, icosaedro, dodecaedro.

Chiamiamo regolare un poliedro se le sue facce sono poligoni regolari uguali fra loro e in ogni vertice arriva lo stesso numero di facce. In un poliedro di questo tipo sia le facce che gli spigoli che i vertici sono indistinguibili.

L’ultimo libro degli “Elementi” di Euclide è dedicato ai cinque solidi platonici, ad alcune loro proprietà e relazioni e alla dimostrazione del fatto che non ne esistono altri. Sono stati ritrovati modelli di poliedri regolari anche in civiltà precedenti a quella greca, e il loro fascino, legato sia all’armonia delle proporzioni che alle proprietà matematiche, ha continuato a colpire artisti e scienziati fino ai giorni nostri.

La tabella qui di seguito descrive i cinque poliedri regolari.

Possiamo trarre delle informazioni utili dalla lettura della tabella :in essa le prime tre colonne riportano il numero di facce, di spigoli, e di vertici per ciascuno di essi, mentre le due successive possono essere interpretate come una guida per costruire lo scheletro del poliedro se si hanno a disposizione bastoncini tutti di uguale lunghezza e un modo per unirli insieme nei loro estremi (ad esempio, se si hanno cannucce da bibita e scovolini nettapipe per fare i giunti). Così i numeri che compaiono nell’ultima riga indicano, per esempio,  che in un icosaedro ci sono 20 facce, 30 spigoli, 12 vertici, 5 spigoli in ogni vertice e 3 spigoli per ogni faccia:  se continuiamo a unire cinque cannucce in ogni vertice e a formare dei triangoli, l’oggetto “si chiude” e dà luogo proprio a un icosaedro.

Anche la colonna finale della tabella dà delle istruzioni per costruire il poliedro corrispondente: in questo caso partendo dal disegno dello sviluppo su un cartoncino si ottiene la superficie del poliedro e non solo lo scheletro.( Parlando di interdisciplinatità nella scuola secondaria di primo grado si può collegare la pratica geometrica con la Tecnologia)

Cenno alla dualità dei poliedri regolari

Dualità dei poliedri regolari

  • I centri delle facce di un cubo sono vertici di un ottaedro (e viceversa i centri delle facce di un ottaedro sono vertici di un cubo)
  • I centri delle facce di un icosaedro sono vertici di un dodecaedro (e viceversa i centri delle facce di un dodecaedro sono vertici di un icosaedro)

  • i centri delle facce di un tetraedro sono vertici di un tetraedro (autoduale)

La Formula di Eulero

Per ogni poliedro convesso il numero di vertici V, facce F e spigoli S deve soddisfare la formula di Eulero, secondo la quale:
V + F − S = 2

Un metodo semplice per contare e calcolare facce, spigoli e vertici

icosaedro

un possibile sviluppo sul piano dell’icosaedro

Consideriamo ad esempio l’icosaedro. Non è facile contare le facce, gli spigoli e i vertici direttamente sul solido. Si corre il rischio di perdere il conto o di dimenticare qualche elemento. Se invece osserviamo lo sviluppo sul piano possiamo seguire tre fasi.

  • Prima fase: contare le facce.   Nel nostro caso sono 20 triangoli;
  • Seconda fase: calcolare il numero degli spigoli.   Calcoliamo il numero totale dei lati di 20 triangoli: 20*3 = 60 lati   Osserviamo che in ogni spigolo vengono a coincidere 2 lati, perciò gli  spigoli sono 60/2 = 30.   In generale: numero spigoli = numero lati/2.
  • Terza fase: calcolare il numeri dei vertici.   Si applica la formula di Eulero:   V = S – F + 2
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