"Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati

6 marzo 2013

Simmetrie in….padella !

Simmetrie in…padella!

“Questa sera, pasta con gli zucchini; cavolfiore in besciamella; mele caramellate. Ti sembra un buon menù?”, Lucia si diverte a cucinare, lo trova rilassante dopo una settimana di ufficio. Pensare a cosa preparare di buono nel fine settimana è come una specie di gioco, ed è ancora più divertente in quanto è un gioco che Lucia fa assieme a Paolo. Forse è l’unico momento che mamma e figlio passano veramente da soli tutte le settimane e se lo godono dall’inizio alla fine.

“Mi sembra proprio un menù super: faremo venire l’acquolina in bocca a tutti, questa sera”. Anna sorride dell’entusiasmo di Paolo e comincia a preparare strumenti e ingredienti, “forza, tira fuori una teglia per le mele, un pentolino per la besciamella, il tagliere per tagliare gli zucchini. Poi ci servono latte, farina e burro; della cannella, lo sciroppo di more e le mandorle per le mele; devi scendere in cantina a prendere la salsa di pomodoro per gli zucchini e pulire una cipolla”.

Quando tutto è pronto, i due si mettono i bei grembiuloni che Paolo le ha regalato per l’ultimo compleanno. Su quello che indossa il ragazzo c’è scritto “genio al lavoro” e su quello della mamma “qui comando io”: ora niente li potrà più fermare.

Agli ordini della mamma, perché comanda lei!, Paolo si mette ad affettare zucchini per il sugo della pasta che Lucia sta preparando soffriggendo cipolle e facendo passare nel soffritto il pomodoro. Al terzo zucchino, Paolo ha già provato a tagliarlo a rondelle, prima; cominciando con dei tagli per tutta la lunghezza, dopo; e ne ha ricavato delle belle osservazioni.

“Hai mai notato, mamma, quant’è bello uno zucchino?”, esclama dopo un momento di concentrazione. “Certo, il suo verde mi ha sempre affascinato”. “No, non parlavo di quello. Parlavo della sua forma. Guarda come stanno qua dentro i semi. Ce ne sono cinque in ogni fettina e formano esattamente un pentagono”. Lucia di zucchini ne ha tagliati e visti moltissimi in tutta la vita, ma non si è mai soffermata a guardare con attenzione la disposizione dei semi. Così smette un attimo di mescolare il sugo, e osserva Paolo che immerge le mani nella terrina piena di pezzetti di zucchino e ne tira su delle rondelle sulle quali sono disegnati dei pentagoni. L’osservazione viene interrotta da uno sfrigolio che ricorda loro che sul fuoco c’è una padella che soffrigge.

“Se invece guardi cosa succede a tagliare lo zucchino per il lungo, trovi al suo interno come una foglia di felce o di sedano. Lì sembra che i semi si dispongano come su una foglia”. A mo’ di commento della sua affermazione, Paolo divide in due con un taglio secco uno zucchino intero, e sulle due metà si staglia quella che lui chiama foglia. Lucia ha avuto appena il tempo di guardare di sfuggita il disegno dei semi lungo tutto lo zucchino, che Paolo le chiede “perché si sistemano come una foglia? Gli zucchini, prima, mica sono delle foglie?”.

“No. Certo che non sono delle foglie. Lo zucchino viene dal fiore, non dalla foglia. Però quel disegno compare in tantissime piante: nella struttura del sedano e in quella del verde dei finocchi, nelle felci e nella disposizione dei semi dello zucchino, come hai visto adesso. In tutti questi casi, se tu strappi la punta della foglia e la guardi da vicino, ti sembra di rivedere tutta la foglia intera. Se tu avessi un microscopio e ne guardassi, via via, dei pezzetti sempre più piccoli, tu vedresti che la struttura non cambia”.

“È fantastico. Perché succede così?”

“Esattamente non lo so, il perché. Ma credo che sia legato alla crescita delle foglie, del sedano, del finocchio, dello zucchino. È come se la pianta conoscesse la forma della foglia e la ripetesse sempre uguale, sempre più in grande. Prima comincia da una fogliettina minuscola, poi la fa crescere e ripete in grande la stessa forma, e così la prima fogliettina diventa la punta. Poi, si va avanti così”.

“Sembra quasi che le piante vogliano risparmiare fatica e si limitino a imparare un unico modello da seguire”.

Lucia non gli risponde direttamente ma passa a Paolo il cavolfiore e gli dice “visto che hai finito di pulire gli zucchini, puoi lavare e spezzettare questo cavolfiore? Mi raccomando non lasciare pezzi troppo grandi né troppo piccoli che la besciamella deve impregnarli ben bene ma non devono perdersi, altrimenti non si sente più il loro gusto”.

Paolo ci tiene a eseguire gli ordini della cuoca a puntino e così si concentra tutto sul cavolfiore, dimenticando le discussioni sulla geometria degli zucchini. Inoltre, la mamma è stata precisa nelle sue indicazioni, i pezzi non devono essere né troppo piccoli né troppo grandi, devono essere giusti. Di conseguenza, Paolo si gira per le mani mille volte il cavolfiore prima di staccarne ciascun pezzo e così s’immerge totalmente nell’osservazione di quella nuova strana verdura.

“Ma mamma!” esclama all’improvviso tutto d’un botto, “anche il cavolfiore fa lo stesso. Guarda! Anche il cavolfiore risparmia fatica. Questi piccoli pezzetti non sono altro che degli altri cavolfiori, solo più piccoli. E se ne stacchi un’altra punta hai un cavolfiore ancora più piccolo e puoi continuare così all’infinito!”.

“Bravo. Stavo proprio aspettando che te ne accorgessi: anche il cavolfiore ha la struttura sempre uguale a tutte le grandezze, soltanto che, a differenza delle foglie, non si limita a una superficie, ma costruisce una struttura a tutto tondo, che invade lo spazio”.

“È come se su ogni punta crescesse un’altra punta uguale e su questa una terza e poi una quarta, una quinta e così via. Dovreste proprio regalarmi un microscopio per guardare questi minuscoli cavolfiorini”.

“Vedremo. Ora vatti a lavare le mani che devi occuparti delle mele e non voglio mica che le mele caramellate profumino di cavolfiore!”.

Quando Paolo rientra in cucina con le mani pulite, riordina la tavola su cui ha lavorato sino a quel momento e tira fuori dal cassetto un vecchio tagliere che la mamma usa da sempre per preparare i dolci.

Sin da bambino, Paolo ha imparato a sbucciare le mele in un colpo solo, facendo in modo che la buccia non si spezzi ma che formi un’unica lunga striscia che si avvolge su se stessa. Dopo un quarto d’ora di lavoro paziente, davanti a lui ci sono dieci mele belle pulite e dieci strisce che formano altrettante spirali disposte ordinatamente sul tavolo a formare due pentagoni. Paolo, che è un ragazzino curioso e che non ama annoiarsi nemmeno quando prepara le mele caramellate con la mamma, ha un’idea stramba: invece di tagliare le mele come al solito dall’alto in basso, decide di tagliarle per l’altro verso, “guarda mamma, oggi le taglio tutte lungo l’equatore!”. “Bravo”, gli fa Lucia tutta presa dallo sforzo di non far venire neanche un grumo nella besciamella e di ottenere una crema bella fluida.

Ma anche questa volta la sua concentrazione di cuoca deve interrompersi per la curiosità scientifica di Paolo: “mamma, mamma. Anche le mele contengono un pentagono. Una mela tagliata a metà è come uno zucchino solo molto più grosso. I semi formano di nuovo un pentagono”.

“Che bello! Non avevo mai provato a tagliare una mela così: fammi un po’ vedere”, detto fatto, mamma e figlio si mettono ad ammirare le venti mezze mele e su tutte spicca un bellissimo fiore pentagonale i cui petali sono i semi tagliati a metà.

“Vedi, Paolo, non è un caso che ci sia un pentagono nello zucchino e nella mela. C’è anche nella stella marina e nella stella alpina. Il pentagono compare in tutte le strutture che crescono fino a un certo punto; che non si ripetono più e più volte come fanno lo zucchino e il cavolfiore. Ti può sembrare strano, ma il pentagono è collegato proprio alla crescita armoniosa, bella. Imparerai cos’è la sezione aurea, scoprirai che compare in tutto ciò che cresce e ti faranno vedere che è collegata anche al pentagono. Ecco perché in tante piante e in alcuni animali riusciamo a vedere dei pentagoni”.

Finita la discussione geometrica, è finito anche il contributo che Lucia chiede a Paolo per preparare la cena. Si sono divertiti a cucinare verdure e mele caramellate al forno e si sono divertiti ancora di più a chiacchierare di strane proprietà della frutta e della verdura – che poi così strane non sono. Paolo finisce di sistemare posate e pentole sporche in lavastoviglie e lascia la mamma a lavare tavoli, lavandino e fornello.

Conclusione: frattali e simmetrie

Detto a parole, la simmetria è un modo di sistemare delle figure sul piano o nello spazio, regolarmente. Tutto sta a intendersi su cosa voglia dire regolarmente.

Noi sappiamo che il corpo umano è simmetrico: se lo tagliamo in due in verticale, la metà sinistra e quella destra sono uguali, si sovrappongono. Una circonferenza è simmetrica, perché la posso ruotare in ogni modo e la circonferenza continua a rimanere nella stessa posizione. Anche la sfera si comporta così.

Possiamo dire che una figura è simmetrica quando non cambia rispetto a una trasformazione che noi vogliamo applicarle. Un triangolo equilatero non cambia né rispetto alle rotazioni di 60° e di 120°, né rispetto ai ribaltamenti attorno a un suo asse.

Ecco allora che possiamo identificare due famiglie di simmetrie: il ribaltamento intorno a una retta e quello intorno a un punto. Quest’ultima non è altro che una rotazione di 180°. Nel primo caso abbiamo una simmetria assiale, nel secondo centrale. Una figura è simmetrica se non viene trasformata (o, meglio, se viene trasformata in se stessa) da una di queste simmetrie.

C’è poi un tipo totalmente diverso di simmetria che può essere osservata ed è la simmetria di scala. Ci sono oggetti geometrici che hanno la seguente proprietà: prendetene un dettaglio e guardatelo, trovate una certa figura “F”. Ingrandite questo dettaglio (diciamo, tanto per fare un esempio, di 10 volte), ritrovate la stessa figura “F”. Fate un nuovo ingrandimento (di 10 volte rispetto al primo, di 100 rispetto al dettaglio iniziale), ritrovate la stessa figura “F”. Ripetete l’esperimento con ingrandimenti di 1000, 10.000, 100.000, 1.000.000 di volte e continuate a trovare sempre la stessa figura “F”.

Un oggetto geometrico con questa proprietà si dice che ha una simmetria di scala, non si trasforma, cioè, se gli applicate una dilatazione (nel nostro esempio, una dilatazione di 10 volte).

Il cavolfiore e la foglia di sedano hanno proprio questa proprietà: c’è un modello iniziale che la pianta replica tante e tante volte, man mano che cresce. Così, potete staccare pezzi sempre più piccoli di cavolfiore e ritroverete sempre la stessa disposizione dei fiori del cavolo.

È possibile costruire in astratto figure geometriche che abbiano questa stessa proprietà? È possibile imitare il processo di crescita che la natura usa per far sviluppare alcuni tipi di piante? La risposta è sì ed è data dagli oggetti geometrici inventati dal matematico Benoit Mandelbrot, i frattali.

Cos’è un frattale? È esattamente una figura che ha una simmetria di scala. È uguale a se stesso: quando lo si dilata si trova che un suo dettaglio replica una parte più generale. Quando lo si ridilata, si ritrova che un ulteriore dettaglio replica la stessa parte…

L’esempio più semplice di frattale è dato dal fiocco di neve di Koch che si costruisce in questo modo. Prendiamo un triangolo equilatero e dividiamo tutti i suoi lati in tre parti uguali. Da ciascun lato togliamo la parte centrale, e su questa costruiamo un nuovo triangolo equilatero che ha lato lungo un terzo del lato iniziale. Ci troviamo ad avere una figura “a stella” composta da sei triangoli equilateri (con la base aperta). Su ciascuno di questi ripetiamo lo stesso procedimento: dividiamo in tre parti uguali i lati, togliamo quella centrale e sul buco costruiamo un nuovo triangolo equilatero. E così via. In astratto, possiamo andare avanti così indefinitamente. Ebbene, la figura che si ottiene è il frattale che si chiama fiocco di neve di Koch.

A cura di Daniele Gouthier, del 20/03/2003
Annunci

Lascia un commento »

Non c'è ancora nessun commento.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

Blog su WordPress.com.

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: