"Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati

29 novembre 2012

I Teoremi di Euclide e di Pitagora

Filed under: Didattica,Teoremi — matematicandoinsieme @ 16:55
Tags: , , ,

Alcuni ragazzi hanno richiesto la pubblicazione “semplificata” dei teoremi di Euclide e di Pitagora, sperando di essere stati di utilità ecco i teoremi!

Le immagini sono state reperite nel web e non sono farina del nostro sacco!!!

 

Primo teorema di Euclide

 

Euclide

 

In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto e’ equivalente ad un rettangolo avente per lati l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa

 

Si costruisce il rettangolo prendendo BC’ congruente a BC;                         

 

BH e’ la proiezione del cateto AB sull’ipotenusa BC.

 

In pratica si deve dimostrare che, se il triangolo e’ rettangolo, le due figure in azzurro, il quadrato Q ed il rettangolo R, sono equivalenti.

 

Per risolvere problemi sara’ particolarmente importante tenere conto la seguente relazione del teorema:

 

AB2 = BH · BC

 

 

Passiamo alla dimostrazione:

ipotesi
BAC triangolo rettangolo
tesi
Q equivalente R

 

Per poter dimostrare il teorema costruiamo una figura intermedia: il parallelogramma BFGA; dimostreremo che il quadrato e’ equivalente al parallelogramma e poi che il parallelogramma e’ equivalente al rettangolo; per la proprieta’ transitiva dell’equivalenza seguira’ la tesi.

 

Dimostriamo che il quadrato ABDE e’ equivalente al parallelogramma BFGA:

 

Le due figure hanno la stessa base AB.

 

L’altezza del quadrato EA e’ anche altezza per il parallelogramma (l’altezza e’ qualunque segmnento di perpendicolare compreso fra i due lati paralleli di cui uno sia la base)

 

Dimostriamo ora che il parallelogramma BFGA e’ equivalente al rettangolo BC’KH.

 

Intanto le due figure hanno la stessa altezza perche’ possiamo considerare come altezza qualunque segmento di perpendicolare condotto fra le rette parallele FC’ e GK.

 

dobbiamo dimostrare che hanno anche basi congruenti, cioe’ che FB=BC’

 

Siccome BC’ e’ stato costruito congruente all’ipotenusa BC dimostriamo che FB=BC

 

Per dimostrarlo consideriamo i triangoli ABC e DBF essi hanno

 

BAC^= BDF^perche’ entrambi angoli retti: uno per ipotesi e l’altro perche’ angolo di un quadrato

 

DB = AB perche’ lati di un quadrato

 

DBF^= ABC^perche’ complementari dello stesso angolo FBA^

 

cioe’ se li sommo con l’angolo FBA^ ottengo da entrambi un angolo retto

 

Quindi i due triangoli sono congruenti per il secondo criterio di congruenza ed in particolare avremo che BF=BC

 

Il parallelogramma ed il rettangolo hanno quindi anche congruente la base e pertanto sono equivalenti.

 

Allora il quadrato Q e’ equivalente al parallelogramma P e quest’ultimo e’ equivalente al rettangolo R quindi, per la proprieta’ transitiva dell’equivalenza, Q e’ equivalente ad R come volevamo.

 

In lettere scriveremo

AB2 = BH · BC

 

Teorema di Pitagora

Pitagora

In ogni triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti e’ equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa

 Cioe’ Q1 + Q2 equivalente a Q3

Ricordate la seguente forma del teorema:      

AB2 + AC2= BC2

 

Passiamo alla dimostrazione:

ipotesi
BAC triangolo rettangolo
tesi
Q1 + Q2 equivalente a Q3

Prolungo l’altezza AH, in tal modo il quadrato Q3 venga suddiviso nei rettangoli R1 e R2

Per il primo teorema di Euclide Q1 e’ equivalente a R1

per il primo teorema di Euclide Q2 e’ equivalente a R2

quindi Q1 + Q2 equivalente a R1 + R2 = Q3

come si voleva.

In lettere scriveremo

BC2 = AB2 + AC2

 

 

 

 

Secondo teorema di Euclide

Euclide

In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa e’ equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa 

Per risolvere i  problemi sara’ particolarmente importante applicare la seguente forma del teorema

AH2 = BH ·HC

Passiamo alla dimostrazione

ipotesi
BAC triangolo rettangolo
tesi
Q2 equivalente a R

Per il primo teorema di Euclide ho che

Q1 equivalente Q3 + R

Per il teorema di Pitagora ho che

Q1 equivalente a Q2 + Q3

 
per la proprieta’ transitiva dell’equivalenza avro’

Q3 + R equivalente Q2 + Q3

Togliendo Q3 da entrame le parti dell’equivalenza otteniamo                                    

R equivalente a Q2

come volevamo dimostrare.

In lettere scriveremo

AH2 = BH · HC

 

 

 

Annunci

Lascia un commento »

Non c'è ancora nessun commento.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

Crea un sito o un blog gratuitamente presso WordPress.com.

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: