"Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati

27 novembre 2012

Il teorema di Carnot

Filed under: Didattica,L'Angolo della Matematica,Teoremi — matematicandoinsieme @ 16:48
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Teorema di Carnot

Il teorema di Carnot e’ uno di quei pochi teoremi che e’ assolutamente necessario sapere e saper applicare. Equivale al secondo criterio di congruenza: conoscendo due lati e l’angolo compreso posso trovare il terzo lato.

Enunciato del teorema di Carnot

In ogni triangolo il quadrato di un lato e’ uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppio prodotto degli stessi lati per il coseno dell’ angolo fra essi compreso

a2 = b2 + c2 – 2bc cos
b2 = a2 + c2 – 2ac cos
c2 = a2 + b2 – 2ab cos

Dimostriamo la prima relazione
Prendiamo le relazioni delle proiezioni:

a = b cos + c cos
b = a cos + c cos
c = a cos + b cos

moltiplichiamo la prima relazione per a, la seconda relazione per -b e la terza relazione per -c

a2 = ab cos + ac cos
-b2 = -ab cos – bc cos
-c2 = -ac cos – bc cos

Sommiamo tra loro tutti i termini prima del segno di uguaglianza e tutti i termini dopo lo stesso segno: essendo delle uguaglianze il risultato e’ ancora un’uguaglianza.

a2 – b2 -c2 = ab cos + ac cos -ab cos – bc cos -ac cos – bc cos

addiziono  i termini simili

a2 – b2 -c2 = -2bc cos

e quindi

a2 = b2 + c2 – 2bc cos

come volevamo dimostrare!

Anche le altre relazioni si dimostrano nello stesso modo.

Il teorema di Carnot, si chiama anche teorema di Pitagora generalizzato perche’ se prendiamo l’angolo uguale a 90° otteniamo il teorema di Pitagora. Infatti:

a2 = b2 + c2 – 2bc cos

sostituendo all’angolo 90° abbiamo

a2 = b2 + c2 – 2bc cos 90°

ed essendo cos 90° = 0 si ha

a2 = b2 + c2

che e’ il Teorema di Pitagora.

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