"Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati

20 settembre 2012

La Sezione Aurea…

Filed under: L'Angolo della Matematica — matematicandoinsieme @ 15:36
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“Platone nel Timeo cerca di dare la sua spiegazione del mondo della natura, applicando il metodo dialettico, quello finalistico derivato dalle sue vedute morali, suggestioni empedoclee ed atomistiche e la concezione dei numeri-cose elaborata a partire dal pitagorismo. Dal Timeo proviene la celebre ipotesi ( di origine pitagorica) dell’esistenza di un’anima del mondo, da essa la convinzione che l’ordine della natura sia qualcosa che antecede la natura”. (da Ludovico Geymonat, Storia del pensiero filosofico e scientifico).

La sezione aurea di un segmento è quella parte del segmento stesso che è media proporzionale tra l’intero segmento e la parte restante.

“Su questa equazione l’architettura classica e rinascimentale fondava il principio compositivo della sua armonia proporzionale. In tutti i canoni classici dell’architettura la sezione aurea costituisce lo strumento principe con cui vengono scanditi e proporzionati le basi, le colonne, i capitelli e le trabeazioni. Nell’architettura rinascimentale veniva comunemente usato il rapporto aureo sia per suddividere e partizionare armonicamente sia le facciate dell’edificio che per proporzionare volumetricamente gli ambienti. Un largo contributo alla conoscenza ed alla divulgazione di questo metodo di suddivisione armonica è stato dato dal matematico Luca Pacioli con la pubblicazione del libro De divina Proportione, testo illustrato con disegni di Leonardo Da Vinci.”

DIMOSTRAZIONE

Preso un segmento AB, si conduca la perpendicolare ad AB nel punto B e si prenda su esso il segmento BO=AB/2, poi col centro in O si descriva la circonferenza di raggio OB; AB, essendo perpendicolare al raggio OB nel punto di contatto B, è tangente alla circonferenza così ottenuta. Si unisca quindi A con O e si chiamino C e D le intersezioni della retta AO con la circonferenza; si porti infine su AB il segmento AE=AC. Dimostreremo ora che AE è la sezione aurea del segmento AB, verificando la proporzione

AB : AE = AE : EB

Infatti per il teorema della tangente e della secante uscenti da uno stesso punto, si ha

AD : AB = AB : AC,

da cui scomponendo si ottiene

(AD – AB) : AB = (AB – AC) : AC. (1)

Ma siccome AB = CD e AC = AE, si ha pure

AD – AB = AD – CD = AC = AE

AB – AC = AB – AE = EB,

perciò la proporzione (1) diventa

AE : AB = EB : AE,

da cui, invertendo,

AB : AE = AE : EB.

Pertanto AE è la sezione aurea di AB.

COSTRUZIONE DEL SEGMENTO AUREO

Costruzione del segmento aureo

 Dato il segmento AB, dividerlo in due parti uguali con il punto M. Dall’estremità B tracciare la perpendicolare al segmento fino al ottenere CB= MB.

 Dal punto C, tracciare con il compasso un semicerchio fino ad incontrare in D il segmento AC. Puntando infine il compasso in A con raggio AD, si ottiene il punto E che divide il segmento in due parte con proporzione aurea (AE/EB= 1,618).

TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 72°, 72°, 36°.

Triangolo con angoli di
72°, 72°, 36°.

Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 36°, la bisettrice di un angolo alla base divide il lato obliquo opposto nel punto d’intersezione in due segmenti in modo tale da creare una sezione aurea. Infatti il triangolo ABC è simile al triangolo BCD. E da questo risulta che:

AC:BC=BD:DC  e dunque:  AC:AD=AD:DC

TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 36°, 36°, 108°.

Triangolo con angoli di
36°, 36°, 108°

Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 36° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 108°, il lato obliquo e la differenza tra la base e il lato obliquo danno vita a una sezione aurea. Infatti il triangolo CDE è simile al triangolo ABD della figura precedente.

RETTANGOLO AUREO

Rettangolo aureo

Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione aurea. Il suo nome è rettangolo aureo. Per costruire il rettangolo aureo si disegni un quadrato di lato a i cui vertici chiameremo, a partire dal vertice in alto a sinistra e procedendo in senso orario, AEFD. Quindi dividere il segmento AE in due chiamando il punto medio A’. Utilizzando il compasso e puntando in A’ disegnare un arco che da E intersechi il prolungamento del segmento DF in C. Con una squadra disegnare il segmento CB perpendicolare ad DF, ed il segmento EB, perpendicolare a EF. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel quale il lato AB è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea:

AE:EB=AB:AE

SPIRALE AUREA

Spirale aurea

Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo aureo. Si ripeta l’operazione per almeno cinque volte al fine di avere un effetto visivo adeguato. Si punti la punta del compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo e si tracci l’arco che unisce i gli estremi dei due lati che formano l’angolo scelto. Si ripete l’operazione per ogni quadrato disegnato in modo da creare una linea continua.

Per saperne di più, clicca qui: LA SEZIONE AUREA

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