"Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati

15 marzo 2012

La Duplicazione del Cubo

Filed under: Storia della matematica — matematicandoinsieme @ 16:05

“Per liberarsi dalla peste, gli Dei avevano chiesto un altare di volume doppio. Come fare?”

Da uno scritto di Eratostene, matematico greco del III secolo a.C., si comprende come il cubo abbia creato grossi problemi fin dai tempi più antichi. Dice Eratostene:

“Quando Dio annunziò agli abitanti di Delo ( piccola isla dela Mar Egeo) che se volevano liberarsi dalla peste, dovevano costruire un altare che fosse doppio di quello esistente, e sempre di forma cubica, questi caddero in grande perplessità…”

Mito attribuito ad Eratostene dal filosofo e matematico Teone di Smirne (70 ca – 135 ca)

Capivano infatti che, raddoppiando tutti i lati, il cubo non raddoppia ma diventa molto più grande: diventa 8 volte maggiore. E allora? come fare? Qual’è la lunghezza del lato di un cubo doppio di uno dato? Come liberarsi dalla peste? le origini dello studio della geometria solida si confondono con la religione e con la superstizione.

Furono molti i matematici greci che si occuparono  della duplicazione del cubo: nominiamo Archita, Menecmo, Nicomede, Diocle, Eratostene…

Ora se il cubo dato ha per lato l’unità di lunghezza, il suo volume sarà l’unità cubica; si chiede di trovare il lato x di un cubo avente il volume doppio di esso. il lato cercato x soddisferà percciò alla seguente equazione:

X3 – 2 = 0

Eratostene inventò un speciale congegno, detto mesolabio, costituito da rettangoli con i lati scorrevoli, per calcolare  le medie proporzionali fra due segmenti dati.

Esso poteva servire, tra le altre cose, a duplicare il cubo cioè a determinare lo spigolo x di un cubo che abbia il volume doppio di un assegnato cubo. Se il cubo assegnato ha lo spigolo di lunghezza 1, allora, come già Ippocrate da Chio aveva osservato, x è uno dei due medi proporzionali tra 1 e 2

2 : y = y : x = x : 1

infatti in questo caso abbiamo

x2 = y e y2 = 2x

 

 Lo strumento permette di risolvere meccanicamente il problema di inserire due medi proporzionali fra i due segmenti assegnati DA e C”E. È costituito da tre tavolette rettangolari uguali ABCD, A’B’C’D’ e A”B”C”D” : la prima scorre sulla seconda, e questa sulla terza. Un filo teso (mediante un peso ad un estremo) congiunge i punti A ed E e interseca le diagonali A’C’ e A”C” rispettivamente in F e G. Le tavolette vengono spostate in modo tale che BC passi per F e B’C’ passi per G. I segmenti FC e GC’ così ottenuti soddisfano la relazione : DA:FC=FC:GC’=GC’:C”E.

 

 

 

 

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