"Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati

27 febbraio 2012

Le mille e una faccia dell’idea di spazio

Filed under: Articoli,Cultura Universitaria,L'Angolo della Matematica — matematicandoinsieme @ 15:16

Vivre, c’est passer d’un espace à un autre, en essayant le plus possible de ne pas se cogner. Georges Perec, Espèces d’espaces


[Appunti espressamente esagerati per una microscopica intervista su Isoradio andata in onda in diretta il 25 febbraio 2012 ]

[Avrò per parlare una cosa come 6 o 7 minuti. Ogni volta mi sembra di aver parlato 30 secondi e invece mi capita anche di essere un po’ lungo. Partiremo con una citazione filosofica, speriamo di non incartarci subito] Cos’è lo spazio per un matematico? Parafrasando Sant’Agostino: “Se non me lo chiedi lo so; ma se invece mi chiedi che cosa sia lo spazio, non so rispondere,” o almeno questo è quello che avrebbe potuto rispondere un matematico fino a circa 200 anni fa. La nostra matematica nasce intorno a tre diversi concetti, legati ognuno ad attività pratiche: il numero (contare), la grandezza (misurare), la forma (delimitare). [Questa l’ho copiata pari pari da Grothendieck, ma tanto nessuno se ne accorgerà…] A queste attività corrispondono in modo molto approssimativo, ma non per questo meno significativo, le tre principali branche della matematica classica: l’algebra, l’analisi, la geometria. Lo spazio è l’oggetto esplicito di quest’ultima, una delle preoccupazioni della seconda, e si è legata ad un certo punto con la prima in modo indissolubile (da quando Cartesio ha fatto vedere il modo di mettere in corrispondenza le soluzioni di equazioni algebriche con le curve del piano). Ma, per oltre 2000 anni, questa nozione è rimasta abbastanza implicita, sembrando a tutti completamente evidente, quasi non necessitasse di una vera e propria definizione. Per Kant, alla fine del ’700, lo spazio era la forma del senso esterno, riguardava l’intuizione della disposizione delle cose esterne e, come per il tempo, era una forma pura a priori, un modo di funzionare della nostra mente [ormai ci ho preso gusto a lanciarmi in elucubrazioni di cui non so nulla, ma chi lo ha mai letto Kant…]. Ovviamente, per Kant come per Newton, questa idea coincideva con lo spazio Euclideo, quello in cui le rette parallele non si incontrano mai e i triangoli hanno tutti 180°. Nessuno pensava potesse essere altrimenti. Poi però il punto di vista cambiò (ovviamente non la nostra percezione sensoriale [ma chissà?]) e cominciarono a prendere vita le geometrie non euclidee [di cui non diremo nulla, ma magari diciamolo al lettore curioso che potrebbe dare un’occhiata a cosa ne dice .mau. (a.k.a. il matematico pertinente) nel suo blog: prima, seconda, e terza puntata]. Il vero punto di svolta, preparato in parte dagli studi di Gauss, si ebbe però solo nel 1854, quando Bernhard Riemann, che allora aveva solo 28 anni, presentò la sua Tesi di abilitazione dal titolo [dai mettiamolo in tedesco, così tutti penseranno che l’ho letta in lingua originale…] Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sopra le ipotesi che sono alla base della geometria), in cui esponeva idee molto rivoluzionarie [e pensare che, al di fuori dei corsi di matematica superiori, nessuno conosce Riemann. Ho anche sentito qualcuno pronunciarlo “Raiman”]. Riemann osservò che fino ad allora la geometria si era limitata ad assumere come data , tramite gli assiomi di Euclide, la nozione di spazio, ma che rimaneva oscura la relazione tra le varie ipotesi, e quanto esse fossero necessarie o anche solo possibili. “Da Euclide a Legendre (per nominare il più famoso tra i riformatori moderni della geometria),” scrive Riemann, “questa oscurità non è stata dissipata, né dai matematici, né dai quei filosofi che se ne sono interessati. La ragione di ciò è senza dubbio nel fatto che la nozione generale di grandezze molteplicemente estese [n.b.: quelle che oggi chiamiamo varietà riemanniane multidimensionali], rimane completamente da esplorare”. Lavorando su questo problema, Riemann si rese conto che il nostro spazio tridimensionale era solo uno dei tanti possibili. Ogni volta che consideriamo degli insiemi in cui i punti siano definiti da n-coordinate, stiamo creando un nuovo tipo di spazio multidimensionale, che sarà caratterizzabile attraverso la misura della distanza tra i punti (la metrica riemanniana). Sono esempi di spazi multidimensionali: le superfici immerse in tre dimensioni (sfere, ciambelle, pretzel), la bottiglia di Klein in 4D, ma anche: lo spazio dei parametri di un modello fisico, il paniere di azioni finanziare su cui possiamo emettere delle opzioni derivate, la posizione e la velocità di n oggetti nello spazio tridimensionale, gli spazi vettoriali semantici con centinaia di dimensioni, usati nell’analisi dei documenti in rete.

Da Riemann in poi, l’idea di spazio si è slegata dall’immediatezza della percezione empirica e i vari spazi che hanno cominciato a proliferare sono stati classificati a seconda delle strutture che li caratterizzano. Possono essere vettoriali, affini, proiettivi, funzionali, metrici, topologici, solo per citarne alcuni. Ciò che caratterizza ognuna di queste strutture sono gli oggetti che rimangono invarianti sotto certe trasformazioni. Per esempio, in un normale spazio euclideo, si conservano gli angoli e le distanza e le uniche trasformazioni ammissibili sono le rotazioni e le traslazioni. Dopo una di tali trasformazioni, un triangolo equilatero rimarrà equilatero, un quadrato rimarrà quadrato, e questi saranno gli oggetti della geometria euclidea. Se invece permetteremo trasformazioni lineari più generali, allora in questa nuova geometria, che si chiamerà affine, gli angoli non si conserveranno più, ma potremo ancora parlare di rette parallele e di quadrilateri.

Ognuno di questi vari spazi contiene alcuni elementi che, a livello sensoriale, associamo alla nozione di spazio. Per esempio nello spazio tradizionale euclideo la distanza di due punti si calcola usando il teorema di Pitagora. [questo necessita di un disegnino, che per radio ovviamente non posso fare, ma che piazzerò qui]

Possiamo però pensare ad altri modi di definire questa distanza, e gli spazi che generalizzano questa nozione si chiamano spazi metrici. Ogni distanza definirà uno spazio diverso, e proprio attraverso questa nozione è possibile trattare anche gli spazi di dimensione infinita (per esempio: lo spazio delle funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato (in cui la distanza è data dal massimo del modulo della differenza delle due funzioni), lo spazio delle funzioni per cui l’integrale della funzione elevata al quadrato è finito, etc… [e qui temo di perdere il mio affezionato pubblico]). Anche nel piano euclideo abituale possiamo però definire distanze esotiche. Immaginate di stare in una città con strade solo orizzontali e verticali. Per andare da un punto all’altro, per esempio in taxi, non potrete usare le diagonali, ma andare prima in una direzione e poi nell’altra. Questo definisce un’altra distanza, la distanza del taxi, per cui il cerchio unitario (i punti a distanza 1 dal centro) è dato da un quadrato con le diagonali che coincidono con gli assi cartesiani [faccio uno sforzo sovrumano e disegno la Figura 2].

È possibile generalizzare ancora la nozione di spazio, rendendola sempre più astratta, richiedendo solo di poter definire in modo preciso la nozione di interno ed esterno di un insieme, il dentro e il fuori. Non c’è più una distanza, ma possiamo dire se intorno a ogni punto di un insieme A, c’è un sottoinsieme B che rimane tutto contenuto nell’insieme A. Un insieme in cui sia sempre possibile fare questo, si chiamerà aperto. Questi spazi così astratti (ma non vi preoccupate, c’è di peggio [per chi vuole veramente farsi del male]) si chiamano spazi topologici, e sono gli spazi più generali in cui abbia senso parlare di continuità di una funzione. Due spazi topologici sono equivalenti se possiamo trovare una funzione continua e biunivoca che manda uno nell’altro. In questo senso, un cubo è equivalente ad una sfera, ma non ad un ciambella. Gli spazi topologici compatti bidimensionali si distinguono solo per il numero di buchi che hanno. [Ecco cosa succede a voler fare un corso di geometria accelerato. Si parte lentamente, e sembra di poter spiegare tutto. Poi siamo davanti a diverse scelte. Fermarsi quando ancora le cose si capiscono, cercare di entrare nel tecnico, o ancora dare grandi cenni di alcune cose che si potrebbero scoprire studiando per anni. Per radio mi sarò fermato da ore (poco dopo Riemann e gli spazi multidimensionali), e in questo contesto? Pare che una volta a lezione abbia detto: “Ok, non dico più niente su questo argomento, mi sembra sufficientemente oscuro.” Lo ripeto adesso.]

di Roberto Natalini

 

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