"Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati

5 febbraio 2012

I nemici dei miei nemici

Filed under: Articoli,Conferenze,Cultura Universitaria — matematicandoinsieme @ 17:24

 

 

Un amico è una persona che ha gli stessi tuoi nemici (Abramo Lincoln)

Ieri ho sfidato l’imminente nevicata romana (il cielo era già molto grigio) per andare a vedere uno dei seminari della serie MoMa (=Modelli Matematici per le Applicazioni, che sono degli incontri dedicati alla discussione di contributi interdisciplinari) che si svolgeva presso il Dipartimento di Matematica “G. Castelnuovo” della Sapienza. Non volevo infatti perdermi la conferenza di Steven Strogatz della Cornell University, dal titolo “Reti sociali che si bilanciano da sole” (in italiano suona malissimo, meglio in inglese: “Social networks that balance themselves”). Strogatz è un matematico applicato che si occupa di un sacco di cose, tra cui i sistemi dinamici e i modelli biologici, ma che è soprattutto conosciuto per i suoi lavori sul cosiddetto effetto “small world”. È una cosa che qualche volta ci capita. Siete in viaggio e qualcuno comincia a parlare con noi. Dopo un po’ salta fuori che un suo cugino è amico di un nostro amico d’infanzia, o che ha avuto come professoressa di matematica al liceo la sorella della professoressa di greco di nostra moglie. Come è piccolo il mondo, vero? In realtà, come spiega Strogatz, in molti sistemi interconnessi è facile che i vari elementi siano separati solo da pochi contatti. Quello che una volta era conosciuto come il principio dei “sei gradi di separazione”, per cui ognuno di noi sarebbe distante al più sei “connessioni” da ogni altro essere umano. Per esempio, nel mondo del cinema si considera la distanza tra gli attori (se due attori fanno un film insieme sono a distanza 1, se hanno lavorato con lo stesso attore, ma senza lavorare insieme, a distanza 2 e così via), e di solito la distanza massima tra due attori presi a caso è minore di otto. Il motivo è che ci sono alcuni personaggi, i cosiddetti hub(=fulcro), che mettono in connessione comunità diverse, riducendo così le distanze tra tutti gli altri. Il contributo di Strogatz è stato di spiegare come riconoscere questo tipo di sistemi. Strogatz è molto famoso negli Stati Uniti per questi studi, ma anche perché è un bravissimo divulgatore. Oltre ad aver tenuto un blog di matematica sul New York Times (con degli articoli scritti in modo chiaro e veramente interessante), ha scritto alcuni libri e partecipato a programmi in radio e televisione, come si vede nella sua pagina sulla comunicazione. Una attività abbastanza eccezionale per un matematico che ha ancora una notevole attività di ricerca (non si capisce quando trovi il tempo…).

Nella sua conferenza Strogatz ha parlato di un diverso problema di tipo sociale. Supponiamo di avere una comunità di individui tutti connessi tra di loro. E facciamo conto che tra di loro ci possano essere solo due tipi di relazione come amore o odio, oppure amicizia o inimicizia. Questo può succedere in una classe scolastica, in un ufficio, oppure nelle relazioni internazionali. Per analizzare questo problema si comincia a considerare i gruppi di tre persone, che chiamiamo Alice, Bob e Carol. C’è un primo caso in cui tutti sono in equilibrio, gli amici dei amici sono miei amici, tutto va bene e tutti sono contenti. La situazione si complica però se Bob e Carol litigano (per esempio sono marito e moglie e Alice è la loro migliore amica). Che deve fare Alice? Se rimarrà amica con entrambi sarà sempre in difficoltà, perché ognuno la troverà colpevole di allearsi con il proprio nemico. Per raggiungere una soluzione di equilibrio avrà davanti solo due scenari. O riuscirà a convincerli a riappacificarsi, oppure dovrà litigare con uno dei due. Il caso in cui due persone sono amiche e la terza non è amica(=nemica) degli altri due è infatti considerato stabile dagli psicologi sociali. Cosa c’è di meglio di avere un nemico comune per cementare una buona amicizia? I nemici dei miei nemici sono miei amici, insomma. Se rappresentiamo questi menages à trois con dei triangoli, abbiamo quindi le due situazioni stabili, dette anche bilanciate. O tutti amici (Figura 1), oppure due amici e un nemico (Figura 2). Le altre due situazioni possibili (amico, amico, nemico, oppure tutti nemici) sono considerate instabili, perché è possibile con un solo cambio passare ad una situazione più soddisfacente.

È anche facile ricordarsi queste regole. Se associamo alla relazione di amicizia un bel segno + e a quella di inimicizia il segno −, allora i triangoli per cui il prodotto dei segni è positivo (ossia + + + e + − −) saranno bilanciati (meno per meno fa più!), mentre se il prodotto è negativo (+ − + e − − −) saranno sbilanciati.

Se guardiamo a gruppi più grandi, in cui tutti sono sempre connessi tra di loro, possiamo immaginare tante relazioni a tre a tre, un po’ bilanciate e un po’ no. Quello che potrebbe succedere è allora che piano piano gli individui (o le nazioni o insomma quello che stiamo studiando) comincino a mutare i loro rapporti per arrivare ad una situazione in cui TUTTI i triangoli della rete siano bilanciati. Vale allora un notevole teorema dimostrato nel 1953 da Frank Harary.

 Teorema della rete bilanciata. In una rete in cui tutti i nodi sono connessi da relazioni di amicizia o inimicizia e in cui tutte le relazioni a tre sono bilanciate, allora o tutti i nodi sono fatti di amici, oppure possiamo dividere la rete in due sottoinsiemi, M e N, in cui tutti gli individui di M sono amici tra loro, e lo stesso per quelli di N, ma tutti gli individui di M sono nemici con quelli di N.

Insomma, un sistema di relazioni strettamente alternative (o sei con me o sei contro di me), è portato per forza a polarizzarsi in esattamente due blocchi contrapposti, a meno che tutti non si amino fraternamente (cosa sostanzialmente improbabile). Non stupisce che un teorema simile sia stato formulato in piena guerra fredda….Questo risultato è però in realtà solo indicativo, perché statico. Ci dice come deve essere fatta una rete bilanciata, ma non ci dice come arrivarci. La cosa interessante che ci ha raccontato Strogatz nella sua conferenza, è che è possibile studiare una versione “dinamica” di questo problema che fa vedere come possono evolvere le cose. Immaginiamo che i legami non siano più solo di amicizia o inimicizia, ma che tra due individui sia possibile stabilire una scala continua che vada dal negativo al positivo. Possiamo essere amici di intensità 5 o 100, oppure nemici a -1 o -1000. Poi si parte da una configurazione iniziale di relazioni casuali tra i vari nodi e si cerca di evolvere nel tempo seguendo un sistema di equazioni differenziali che in pratica dice che ogni individuo aumenterà i legami di amicizia con chi è legato ai suoi amici e di inimicizia con chi è legato ai suoi nemici. Quello che hanno dimostrato Strogatz e i suoi collaboratori è che se l’amicizia media globale è positiva, allora la rete tenderà verso uno stato di fratellanza universale. Altrimenti, nel caso in cui prevalga all’inizio l’inimicizia, si andrà verso una divisione della rete in due blocchi contrapposti tra loro.

Ho semplificato un po’, la conferenza era più tecnica di così, e ho solo cercato di raccontare quello che ho capito. Mentre andavo alla stazione per prendere la metro, la neve cadeva fitta e la strada aveva un aspetto abbastanza surreale. E ho pensato che c’è un punto su cui il modello semplificava un po’ troppo. Non sempre se amiamo una persona, questa è portata ad amarci. Altrimenti non ci sarebbero le commedie di Shakespeare e tante tragedie quotidiane. Chissà cosa succederebbe al modello con la semplice variante dell’amante non riamato…

di Roberto Natalini

 

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1 commento »

  1. C’è anche un film su questa teoria. Appunto: “Sei gradi di separazione” (1993) di Fred Schepisi, con Stockard Channing, Donald Sutherlnad e Will Smith. Interessante il finale di Roberto Natalini, la variante che sfugge al modello e dà origine ad altro.

    Commento di letteralmenteblog — 5 febbraio 2012 @ 18:19 | Rispondi


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