"Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati

7 gennaio 2012

Tutto scorre

Filed under: Articoli,L'Angolo delle Scienze — matematicandoinsieme @ 15:00

Here we are
Stuck by this river,
You and I
Underneath a sky that’s ever falling down, down, down
Ever falling down.

(Brian Eno, By this river)

Che cos’è un fluido? Pongo la domanda perché vorrei cercare di descrivere in un numero finito di post (ognuno dei quali di lunghezza ragionevole. Va bene, è un’impresa disperata) uno dei cosiddetti problemi del Millennio posti dall’Istituto Clay (sono sette problemi posti nel 2000 da questo istituto americano, e per ognuno dei problemi è previsto un premio da un milione di dollari per chi riuscisse a risolverli), ossia quello che riguarda le Equazioni di Navier-Stokes. E anche qualche cosa in più (tanto per far capire la difficoltà del problema).

Come spesso capita quando cerchiamo di precisare un concetto che dovrebbe essere evidente, la domanda è al tempo stesso troppo facile o troppo difficile. E per prima cosa dobbiamo capire che stiamo parlando di qualcosa di veramente astratto. Diciamo, per cercare di capire, che i fluidi sono sostanze che possono riconfigurarsi(=fluire, ma così diventerebbe abbastanza tautologico) cambiando la posizione reciproca delle diverse parti dell’insieme. E ancora non ci siamo nemmeno avvicinati alla sensazione di fluire, cambiare, scivolare intorno che ci possono dare i fluidi più basilari: l’acqua e l’aria, il liquido di qui siamo fatti (in grande maggioranza) e il gas che sta tutto intorno a noi. Opposti alla supposta solidità delle rocce, delle montagne, delle case, del tronco di un albero, di un’incudine. Ce ne sarebbero tanti di fluidi in realtà, più o meno inaspettati, come i plasmi, la corrente elettrica, i materiali viscoelastici. E se ci permettiamo un po’ di astrazione, allora anche la sabbia, le palline che rotolano, le cellule che si (auto)organizzano, il traffico automobilistico e quello pedonale, le valanghe, le colate laviche. Ovviamente, in questo senso un fluido è proprio una nostra astrazione ed è legato ad una scala dimensionale o temporale. Il traffico può essere un fluido se lo vedo da lontano, mentre dentro una singola automobile o alla scala di un bullone ha molto meno senso, e questo vale anche per l’acqua o l’aria se scendiamo alla scala delle molecole. Una morena ci può sembrare immobile nella scala dei minuti, un fiume alla scala dei femtosecondi.

Le singole unità che compongono un fluido non vedono il loro stesso fluire, si organizzano con leggi molto più elementari, in un certo senso, di cui la configurazione macroscopica è soltanto una delle conseguenze finali. In ogni modo, per immaginare un fluido dobbiamo comunque metterci ad un livello molto macroscopico, evitando di pensare che sia composto da tante particelle, ma immaginando che sia piuttosto una specie di sostanza continua e omogenea. Prima di continuare, valutiamo ancora per un attimo la possibilità di descrivere il movimento di un fluido inseguendo le singole molecole che lo compongono. Potrebbe sembrare una buona idea, in fondo abbiamo dei computer enormi al giorno d’oggi. E invece no, non funziona, e non funzionerebbe nemmeno avendo un computer molte volte più potente di quelli attuali [la discussione che segue è ripresa e sintetizzata tenendo in mente la lettura dei libri di Carlo Cercignani, un matematico italiano, scomparso nel 2010, che ha fondato la moderna teoria cinetica dei gas]. Immaginate infatti che in un centimetro cubo di gas ci possano stare qualche cosa come 1020 molecole (ossia 100 miliardi di miliardi). Ignorando le forze quantistiche, ognuna di queste è descritta, per ogni istante di tempo, da 6 equazioni differenziali (3 per la posizione e 3 per la velocità). A parte la difficoltà di conoscere la posizione iniziale di queste particelle e quella di far girare un codice numerico che risolva equazioni di queste dimensioni, il problema è che entrambe queste operazioni comportano delle ovvie incertezze, tra cui la necessità di troncare i calcoli a un certo numero di cifre. Anche supponendo di utilizzare tante cifre decimali, i nostri errori si amplificherebbero comunque nel tempo, obbligandoci a fermarci dopo pochi millisecondi (ossia quando l’errore sarebbe tanto grande da essere comparabile al risultato). Ma la cosa più difficile sarebbe in ogni modo che, anche ammettendo di poter lo stesso procedere con questi calcoli, facendo delle medie e filtrando i risultati per esempio, non sapremmo ancora nulla delle cose che ci interessano, ossia la velocità del flusso, la sua densità, la temperatura. Insomma, le cose che riusciamo in definitiva a misurare. Per cui il fatto di rimanere macroscopici è sostanzialmente obbligatorio per fare previsioni realistiche.

Per determinare il movimento del fluido nel tempo si fa a questo punto una scelta assolutamente non ovvia. Al posto di cercare di inseguire lo spostamento dei singoli punti del fluido (va bene si potrebbe, e si chiama approccio lagrangiano, ma non ne parliamo qui), si decide di vedere come cambiano nel tempo le sua densità e velocità (si chiama approccio euleriano, ricordatevelo, capirete fra poco perché). Stiamo chiaramente parlando di quantità medie, ossia ancora una volta astrazioni. La densità è infatti la quantità di sostanza che sta in un certo volume, diviso il volume stesso, quando mandiamo il volume a zero (e in un preciso istante di tempo, come se fosse possibile congelarlo). La velocità media in un punto è il flusso istantaneo di materia in un punto (=quanta materia passa in un tempo dt per quel punto, diviso dt, con il solito dt che va a zero) diviso per la densità locale del flusso. Lo so, non è completamente intuitivo, ma se proprio non riuscite a immaginare questa velocità media, allora pensate alla media tra le velocità (istantanee) delle particelle (che abbiamo detto di non voler considerare) in un punto. Ah, e ci sarebbe anche da considerare come cambia la temperatura (che è equivalente all’energia interna del fluido), ma per ora limitiamoci alle prime due quantità incognite.

Per descrivere il cambiamento di densità e velocità si usano le due leggi fondamentali del moto. La prima è la conservazione della massa, ossia si suppone che durante il moto la sostanza di cui è fatto il fluido non venga creata o distrutta, per cui il cambiamento della densità in una pallina di riferimento, avviene solo per il flusso del fluido attraverso la superficie esterna della pallina. L’altra legge del moto è semplicemente la seconda legge di Newton, ossia quella che dice che l’accelerazione (ossia, il tasso di cambiamento nel tempo della sua velocità) di un corpo è proporzionale alle forze esercitate su esso. In questo caso le forze esercitate sul fluido sono di tre tipi. Ci sono le forze esterne (come per esempio la gravità), il gradiente di pressione e, infine, gli sforzi di taglio. La pressione è una quantità scalare (ossia è un numero) che varia da punto a punto e da un’istante all’altro. La forza che viene esercitata dal fluido su una qualsiasi superficie immersa nel fluido è dato dalla variazione di questa pressione nella direzione ortogonale alla superficie. Gli sforzi di taglio (che strettamente parlando sono descritti da un “tensore”) sono invece le forze che si esercitano tra una parte e l’altra del fluido quando queste parti si muovono a velocità diverse, tenendo conto dell’attrito di queste parti tra loro, ossia secondo quella cosa che viene chiamata viscosità del fluido.

Trascurando l’idrostatica di Archimede (associata nella nostra memoria all’esclamazione “Eureka!” e all’immagine di un vecchio che corre nudo per strada), l’inizio di questa modellistica può essere fatta risalire al matematico Leonardo Eulero, che nel 1757 pubblicò un articolo in cui descriveva il moto di un fluido perfetto, in cui le uniche forze interne erano quelle dovute alla pressione, senza tenere conto degli sforzi di taglio. Ci sono due casi delle equazioni di Eulero, entrambi molto interessanti; il caso dei gas (equazioni di Eulero di un fluido comprimibile) e quello dei liquidi (come prima, ma incomprimibile). Concentriamoci per ora sui gas, per cui supponiamo che la pressione sia una funzione crescente della densità (va bene, stiamo considerando un cosiddetto gas isentropico, in cui l’entropia rimane costante e la temperatura è una funzione della densità. La realtà è diversa, ma per ora facciamo finta di nulla). In questo caso, se abbiamo due regioni dello spazio con gas a diverse densità, ci aspettiamo che il fluido si muova nella direzione di minor densità. Nulla di troppo strano, sembrerebbe, eppure queste equazioni prevedono un fenomeno abbastanza sorprendente, almeno per l’epoca, che fu osservato prima da Poisson, all’inizio dell’800, e poi da Stokes (e nessuno di loro sapeva bene come interpretarlo, era considerato un paradosso). Quello che succede è che, se prendiamo una configurazione iniziale di densità e velocità, la soluzione delle equazioni può diventare discontinua in tempo finito. Il motivo per cui la cosa risultava sorprendente all’epoca era che uno partiva con una sostanza “continua” a “liscia”, ossia molto regolare e, dopo qualche tempo, questa sostanza tendeva a “rompersi” [N.B.: uso le virgolette, in quanto sarebbe necessario dire di più, ma spero che sia già chiaro così, senza dover parlare di funzioni differenziabili con continuità etc…]. Ora, oltre al fatto puramente matematico che le equazioni in senso stretto valgono solo per funzioni continue e derivabili, l’altra fonte di forte perplessità era dovuta al fatto che a livello sperimentale nessuno aveva mai osservato discontinuità di qualche sorta in un fluido. Quello che sembrava succedere era che il fluido tendeva a comprimersi fino a diventare discontinuo, con due densità e velocità molto diverse ai due lati dell’onda, una cosa che all’epoca sembrava impossibile. Molti matematici e fisici del XIX secolo si interessarono a questo apparente paradosso, tra cui Bernhard Riemann, a cui è dovuta la (prima) soluzione di un problema immaginario, chiamato ancora oggi “Problema di Riemann.” Immaginiamo di avere un tubo molto lungo, tanto che possiamo considerarlo monodimensionale, diviso in due sezioni, con il gas a differenti valori costanti di densità e velocità ai due lati. Ossia partiamo già con una soluzione discontinua. È allora possibile calcolare la soluzione di un problema così semplice? Prima di andare avanti, lasciatemi osservare che in questo tipo di cose si vede la vera grandezza di un matematico, che è capace di prendere un problema difficilissimo, e porlo nella sua forma più elementare dove è possibile raccogliere il massimo dell’informazione. La risposta è sì, se riusciamo a definire bene cosa vuol dire lavorare con soluzioni discontinue. Riemann decise di lavorare con soluzioni regolari a tratti, separate da discontinuità di salto che era possibile calcolare esplicitamente. Per cui, preso un gas, è sempre possibile calcolare cosa succede alla soluzione, almeno se il salto tra i due stati a destra e sinistra non è troppo grande. [Per essere precisi, Riemann pensava che durante l’evoluzione, il gas potesse rimanere adiabatico (ossia la pressione fosse solo funzione della densità), e questo in generale non è vero. Il problema era che all’epoca non si era ancora capita bene la termodinamica, e il problema sarebbe stato risolto solo in seguito, indipendentemente da William Rankine e Pierre-Henri Hugoniot, tenendo conto del principio di conservazione dell’energia].

Per molto tempo questa teoria sulle soluzioni discontinue delle equazioni dei gas rimase poco più di una curiosità, almeno fino allo scoppio della seconda guerra mondiale. Negli anni ’40 del XX secolo, gli scienziati europei emigrati negli Stati Uniti (Courant, Friedrichs, von Neumann), cominciarono ad interessarsi alle applicazioni di questi modelli in aerodinamica, cercando di capire come si muovesse l’aria intorno ai nuovi aeroplani a reazione capaci di superare il muro del suono. Le onde discontinue apparvero allora in tutta la loro realtà. (1-continua).

di Roberto Natalini

07 gennaio 2012

 

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