"Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati

26 ottobre 2011

Vedi alla Voce: Errore (parte prima)

Filed under: L'Angolo della Matematica,Letture — matematicandoinsieme @ 15:40
Impiccati, te ne pentirai; non impiccarti, te ne pentirai anche; impiccati o non impiccarti,
ti pentirai d’entrambe le cose; o che ti impicchi o che non ti impicchi, ti penti d’entrambe le cose…
Questa, miei signori, è la somma della scienza della vita! (Søren Kierkegaard)

 
A un certo punto a tutti noi capita di fare errori. A me capita con una certa frequenza, anche se tendo a non ammetterlo, e l’ultimo in ordine di tempo è stato quello di pensare di poter scrivere un breve testo sugli errori. Più ci rifletto e più la vastità dell’argomento si apre davanti a me, senza che riesca a precisarne bene i contorni. Pensateci, ogni volta che scegliamo possiamo commettere errori, e a volte persino tutte le scelte disponibili possono rivelarsi sbagliate, e sbagliamo anche per non aver capito che c’era una scelta da fare. L’incertezza segna costantemente la nostra vita, e chiamiamo esperienza i nostri errori passati. In effetti, già definire cosa sia un errore non risulta affatto facile come si capisce aprendo il vocabolario alla voce corrispondente.


erróre s. m. [dal lat. errororis, der. di errare «vagare; sbagliare»]. Lo sviarsi, l’uscire dalla via retta, deviazione morale. Fallo, colpa, peccato. Opinione, affermazione erronea, giudizio contrario al vero. Quanto contrasta con le regole di una tecnica o scienza, o manca di correttezza, di esattezza. Azione inopportuna, svantaggiosa. (alcuni significati della parola errore presi dal Vocabolario Treccani)

 

L’errore nasce quando ci si allontana da una regola ritenuta giusta, si ha un’opinione contraria al vero (in italico le parole che in qualche modo cortocircuitano e rendono autoreferenziale la definizione di errore: perché è sbagliato? perché non è giusto. A me sembra si inneschi un loop). Nel passato era spesso riferito a credenze in materia religiosa. La deviazione dalla giustizia e dalla verità rischia però oggi di poter apparire soggettiva: cosa vuol dire infatti “allontanarsi dalla retta via”? In questo senso, un significato riduzionista consiste a ritenere errori solo quelle cose che ci porteranno conseguenze negative, e solo dal verificarsi di queste conseguenze avremo la certezza che si trattava di un errore.
Omissis…
Per questo ci sembra molto più ovvio e incontrovertibile l’errore scientifico, anzi in qualche modo è la base del metodo stesso. Per essere scientifica una teoria deve essere soggetta a falsificabilità, ossia fornire i criteri con cui si possa misurare il rispetto o meno dell’ipotesi teorica. Le spiegazioni del mondo sono ipotesi parziali, sintesi di tutte le esperienze precedenti, congetture sul mondo e sul suo funzionamento. Se a un certo punto le mele smettessero di cadere dagli alberi, dovremmo prenderne atto e capire cosa non va nella nostra fisica. In realtà, come dimostra la recente vicenda dei neutrini (e con questo soddisfo tutti coloro (pochi) che mi avevano chiesto di scrivere qualche cosa su questo argomento. Quello sì sarebbe stato un errore, avventurarsi in un argomento di cui ho una scarsissima comprensione), le cose sono molto più complicate di così. Questo neutrino che sembra andare troppo veloce potrebbe fornire una falsificazione alle teorie accettate della materia oppure no, perché le misure che abbiamo compiuto non erano accurate, oppure soffrivano (mai verbo fu più appropriato) di errori sistematici, e magari abbiamo trascurato qualche effetto classico elementare. La ricerca dell’errore potrà essere resa molto complessa dalla limitatezza dei nostri strumenti e anche dalla difficoltà creata dal fatto che guarderemo sempre ai risultati sperimentali alla luce di una qualche teoria precedente, che ci fornirà il punto di vista anche nostro malgrado: a un uomo con un martello, qualsiasi cosa sembra un chiodo (Mark Twain).In matematica le cose dovrebbero in teoria andare meglio e gli errori dovrebbero essere facili da individuare e correggere. Eppure, forse proprio perché, almeno fino a un certo punto il criterio per stabilire se una cosa è sbagliata o meno è più netto, è proprio in matematica che gli errori sembrano essere centrali a tutta la costruzione. Intanto osserviamo che è un peccato che sia così, la matematica potrebbe essere più avventurosa e immaginativa se non ci fossero gli errori. È il terrore di fare errori che blocca il principiante e anche il matematico affermato. Ma da dove viene questa paura? L’errore non dovrebbe essere evidente e saltare subito all’occhio? Se leggete

2+3=6

riconoscerete subito l’errore e penserete a una semplice distrazione. Ma

sin(x+y)=sin(x)+sin(y), per ogni x,y,

vi sembrerà un’affermazione falsa solo se avrete capito cosa c’è scritto nell’equazione, ossia se avrete il linguaggio sufficiente per capire il problema. In effetti, la maggior parte degli errori che si riscontrano nei compiti di matematica a tutti i livelli, escludendo gli errori di distrazione, si configurano come errori dovuti alla mancanza di comprensione del problema e delle proprietà degli oggetti necessari a risolverlo. Insomma, cerchiamo senza riflettere di riportare in un contesto nuovo alcune idee apprese in un contesto totalmente diverso. Come se, avendo appreso che l’acqua spegne il fuoco, deducessimo erroneamente che la stessa proprietà vale per tutti i liquidi, inclusa la benzina. Questa mancanza di comprensione del linguaggio si ritrova in quest’altro errore tipico degli studenti dei primi anni:

tan(x)/x=tan(1),

ossia semplificando sopra e sotto la x nella tangente trigonometrica senza ben capire il significato di cosa sia questa funzione (eh, già, magari ci siamo persi la lezione in cui si spiegava cosa fosse una funzione tangente e stiamo ancora lì a cercare di visualizzare una retta tangente a una curva). Si ricava così una bizzarra identità, il cui significato poco importa (per i più curiosi, sarebbe come dire che la tangente trigonometrica è una funzione lineare), non sarà mai contraddittorio con niente della nostra vita reale, o almeno così ci sembra, e non capiamo perché il nostro insegnante stia lì a sottilizzare. Forse il nocciolo di questa difficoltà sta proprio in questo fatto. La matematica costruisce oggetti sempre più complessi che contengono un sacco di informazioni e idee e sintetizzano anni di apprendistato e pensieri, ed è questa la sua forza, come se nella compressione informativa avessimo moltiplicato la potenza della nostra comprensione. Però, se guardiamo meglio, all’aumentare dell’astrazione gli errori diventano più difficili da scovare e la loro stessa natura diventa più sfuggente e difficile da articolare. Ci dimentichiamo che gli oggetti devono essere usati nel modo giusto, e cosa vogliono dire veramente. Ecco allora l’esempio di paradosso che possiamo incontrare se non sappiamo gestire l’astrazione:

Suppongo sia a = b

 moltiplico per a: a2= a*b
sottraggo b2: a2-b2 = a*b-b2
metto in evidenza (a-b): (a+b)(a-b) = b(a-b)
 divido da entrambi i lati per (a-b): (a+b) = b
 

uso che a=b: a+a = a ossia: 2a = a poi semplifico per a e ottengo

 

2 = 1

Se non vi siete meravigliati del risultato allora vuol dire che a) conoscevate già questo esempio, oppure b) non state ragionando. Insomma, 2=1 è un errore, ma dove esattamente ci siamo sbagliati nei passaggi precedenti? Pensateci un po’ prima di continuare a leggere (soprattutto quelli del caso b)). Fatto? Bene.

Allora, se rifate tutti i passaggi vi renderete conto che quando dividete per (a-b) state commettendo un abuso. Infatti la divisione è definita per tutti i numeri diversi da 0 (perché? beh, ok, farei un grosso errore a partire in questa direzione proprio ora, per cui se non lo sapete, fate finta di saperlo e ne riparleremo in seguito), e abbiamo fatto l’ipotesi che a=b, ossia a-b=0. Insomma, abbiamo diviso per zero. Siamo incorsi in un errore concettuale, dividere per zero, reso possibile da un cattivo utilizzo dell’astrazione. Di errori concettuali, dovuti o meno all’astrazione o ai pregiudizi, o a concetti non ben definiti, è piena la matematica, come hanno potuto constatare per esperienza personale quasi tutti i più grandi matematici.

di Roberto Natalini

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