"Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati

18 maggio 2010

Dalle “Aporie” di Zenone al calcolo della “Generatrice” di un numero decimale periodico semplice

Filed under: L'Angolo della Matematica — matematicandoinsieme @ 15:55
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Il termine greco “aporia” significa letteralmente dubbio. L’aporia è la difficoltà irrisolvibile che fa riferimento a un determinato procedimento razionale.Sono esempi di aporia i paradossi di Zenone sul movimento o le difficoltà inerenti alla dimostrazione di infinito e divisibilità infinita. L’aporia è dunque una “impasse” logica legata ad uno stato oggettivo del problema nel quale la realtà che si mostra nell’esperienza entra in conflitto con la realtà mostrata dalla logica.Tra le aporie di Zenone la più conosciuta è quella di Achille e la tartaruga. In breve: se Achille si muove, per esempio, con una velocità 10 volte superiore a quella di una tartaruga che lo precede di 1000 metri, non potrà mai raggiungerla. Questo è il paradosso cui giunse Zenone di Elea dimostrandolo nel modo seguente:

Mentre Achille percorre i 1000 metri, la tartaruga è andata avanti di 100 metri;quando Achille ha percorso 100 metri la tartaruga è andati oltre di altri 10 metri e quando Achille avrà percorso ancora 10 metri la tartaruga è andata avanti di 1 metro, e così di seguito. Quindi Achille, pervenendo sempre alla posizione man mano raggiunta dalla tartaruga quando però essa ne è gia ripartita, potrà avvicinarsi ad essa, ma non la raggiungerà mai. L’antico filosofo Zenone, non conoscendo il calcolo infinitesimale, riteneva esatte queste argomentazioni, che per noi hanno il “ sapore del paradosso”.Si può risolvere il problema applicando la semplice regola per il calcolo della generatrice di un numero periodico semplice e in questo modo si potrà conoscere lo spazio percorso dalla tartaruga e da Achille.

Nel caso considerato, la somma degli infiniti spazi percorsi dalla tartaruga è :

                     100 + 1/10 • 100 + 1/100 • 100 +…..  =     100 ﴾ 1 + 1/10 + 1/100  +  ….﴿ =

                                    =  100 • 1,11111…… =  100 • 10/9  ( metri )

 La somma degli infiniti spazi percorsi da Achille è :

 1000 + 100  +  1/10 • + 1/100 • 100 + … = 1000  +  100 • 10/9 ( metri )

 e tale percorso risulta uguale a tutto il cammino fatto dalla tartaruga, aumentato del suo vantaggio iniziale. Si può quindi concludere che Achille raggiunge la tartaruga quando questa ha percorso  100 • 10/9 ( metri )

                                                                         Zenone di Elea (495 – 430 a.C.)

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1 commento »

  1. Geniale!Se pensiamo agli strumenti di quei tempi,non possiamo far altro che complimentarci con un uomo, che argutamente utilizzava uno strumento attualmente poco in voga!

    Commento di manuela iezzi — 29 maggio 2010 @ 22:11 | Rispondi


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